W gniewie człowiek z łatwością zdobywa się na czyny, przed którymi wzdragałby się w normalnych warunkach Jakie jest prawdopobie«stwo, »e tramy na du»¡ urn¦ i równocze±nie wyci¡gni¦ta z urny kula b¦dzie biaªa. Rozwi¡zanie. Niech A b¦dzie zdarzeniem polegaj¡cym na traeniu do du- »ej urny, B zdarzenie polegaj¡ce na wylosowaniu kuli biaªej. Jest jasne, »e Pr(B A) = 2=3, a poniewa» Pr(A) = 3=4, to zgodnie ze wzorem (1.3.2) otrzymujemy Pr(A B) = 2 3 3 4 = 12 : Prawdopodobie«stwo warunkowe ma wszystkie wªasno±ci ÿzwykªego" prawdopodobie«stwa, tzn. zachodzi nast¦puj¡ce twierdzenie. Twierdzenie 1.3.1. ( ; ;Pr) B Pr(B) > 0 Pr ( ) = Pr( B) (1.1.2) (1.1.4) ( ; ;Pr ) Intuicje dotycz¡ce prawdopodobie«stwa warunkowego zgodne s¡ z nast¦puj¡- cym rezultatem. Twierdzenie 1.3.2. A B Pr(B) > 0 Pr(A B) = Pr(A): 13 1.3.2. Wzór Bayesa Twierdzenia przedstawione w tym punkcie znane s¡ pod tradycyjn¡ nazw¡ wzorów. Trzeba jednak zwróci¢ uwag¦, »e wzory te s¡ prawdziwe tylko przy speªnionych zaªo»eniach, wspólnych dla obydwóch twierdze«. Wzór na Twierdzenie 1.3.3. A prawdopodo- A A = i = j Pr(A ) = 1 bie«stwo caªkowite Pr(B) = Pr(B A )P(A ): (1.3.3) Twierdzenie udowodnimy w szczególnym przypadku, gdy zaªo»enie Pr(A ) = 1 zast¡pimy mocniejszym: A = . Ze wzoru (1.3.2) otrzy- mujemy zale»no±¢ Pr(B A )P(A ) = Pr(A B). Poniewa» A s¡ rozª¡czne, to równie» rozª¡czne s¡ B A oraz B = B A . St¡d Pr(B) = Pr B A = Pr (B A ) = Pr(B A )P(A ): Bezpo±rednio ze wzorów (1.3.1) i (1.3.2) otrzymuje si¦ nast¦puj¡ce Wzór Bayesa Twierdzenie 1.3.4. Pr(B) > 0 Pr(A B) = Pr(B A )Pr(A ) Pr(B) ; (1.3.4) Pr(B) (1.3.3) Przykªad. Dwóch strzelców strzela do tarczy. Strzelec 1 traa z prawdopodobie«stwem 2/3, a strzelec 2 z prawdopodobie«stwem 1/2. Po oddaniu po jednym strzale okazaªo si¦, »e tarcza zostaªa traona dokªadnie raz. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e traª strzelec 1? Oznaczmy przez A fakt traenia w tarcz¦ przez obydwóch strzeleców, A { przez pierwszego, A { przez drugiego, a przez A przez »adnego. Poniewa» strzelcy strzelaj¡ niezale»nie (to trzeba zaªo»y¢), to Pr(A ) = 1=3, Pr(A ) = 1=3, Pr(A ) = 1=6, Pr(A ) = 1=6. Wszystkie te zdarzenia s¡ rozª¡czne, wi¦c s¡ speªnione zaªo»enia twierdzenia 1.3.4. Przez B oznaczmy fakt traenia w tarcz¦ dokªadnie raz. Szukanym prawdopodobie«stwem jest Pr(A A B) = Pr(A B); gdy» Pr(A B) = 0. Wiadomo te», »e Pr(B A )Pr(A ) = 1=3 oraz Pr(B A )Pr(A ) = 1=6, pozostaªe prawdopodobie«stwa warunkowe s¡ równe 14 zeru. Tak wi¦c ze wzoru (1.3.3) otrzymujemy Pr(B) = 1=2. Ze wzoru Bayesa (1.3.4) wynika, »e Pr(A B) = 1=3 1=2 ; co jest szukanym prawdopodobie«stwem. Wyst¦puj¡ce w nast¦pnym punkcie zadania 1 i 2 równie» s¡ typowymi zasto-sowaniami wzoru na prawdopodobie«stwo caªkowite i wzoru Bayesa. 1.3.3. Zadania 1. W ka»dej z trzech urn s¡ po cztery kule { w urnie i-tej jest i kul biaªych, a reszta czarnych. Z urny pierwszej losujemy jedn¡ kul¦ i przekªadamy do drugiej, z drugiej losujemy jedn¡ kul¦ i przekªadamy do trzeciej, a w ko«cu z trzeciej urny losujemy jedn¡ kul¦. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e b¦dzie to kula biaªa? 2. W urnie pierwszej s¡ 2 dwie biaªe i dwie czarne kule, a w drugiej jedna biaªa i trzy czarne kule. Z ka»dej urny losujemy po jednej kuli i nast¦pnie losujemy z nich jedn¡ kul¦. Okazaªo si¦, »e wylosowali±my kul¦ biaª¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e kula ta pochodziªa z pierwszej urny. 3. Udowodni¢, »e je±li Pr(A B) = Pr(A B ), to zdarzenia A i B s¡ niezale»ne. 4. Przy szeregowej transmisji danych do ka»dego bajtu dodawany jest jeden bit tak, aby liczba jedynek byªa parzysta. Prawdopodobie«stwo przekªamania dla ka»dego bitu wynosi p. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo niewykrycia przekªamania { dokªadne dla dowolnego p oraz przybli»one, gdy p jest bardzo maªe. 15 2. Zmienne losowe 2.1. Rozkªady zmiennych losowych 2.1.1. Denicja zmiennej losowej Formuªowanie problemów wyª¡cznie w terminach przestrzeni zdarze« elementarnych, -algebry zdarze« i prawdopodobie«stwa okre±lanego bezpo±rednio na zdarzeniach, nie jest zbyt wygodne. Cz¦sto bowiem zamiast okre±lenia ca- ªej przestrzeni probabilistycznej ( ; ;Pr), wystarczy okre±li¢ charakterystyki liczbowe zdarze« elementarnych, bez opisywania samych zdarze«. Na przykªad je±li przy rzutach monet¡ interesuje nas tylko liczba wyrzuconych orªów, to zamiast opisywa¢ rzut monet¡ w terminach orªów i reszek, mo»na zast¡pi¢ je zerami i jedynkami i dodawa¢ tylko te ÿlosowe" liczby. Co to wi¦c s¡ te ÿlosowe" liczby? Potrzebna jest tutaj nast¦puj¡ca denicja. Zmienna Denicja. Zmienn¡ losow¡ nazywamy funkcj¦ okre±lon¡ na przestrzeni zda-losowa rze« elementarnych i przyjmuj¡c¡ warto±ci rzeczywiste: X : ; tak¡, »e ! : X(!) < x ; (2.1.1) dla ka»dego x . Zamiast pisa¢ A = ! : X(!) < x b¦dzie pisa¢ w skrócie A = X < x . Denicja powy»sza zapewnia nam, »e mo»na powiedzie¢: ÿzdarzenie polegaj¡ce na tym, »e X < x". Bezpo±redno z denicji wynika równie», »e zdarzeniami s¡ równie» zbiory: ! : X(!) x ; ! : X(!) > x ; ! : X(!) x ; ! : X(!) = x ; ! : X(!) [a;b] ; ! : X(!) [a;b) ; ! : X(!) (a;b] ; ! : X(!) (a;b) : Równie» w tych przypadkach najcz¦±ciej stosowa¢ b¦dziemy skrótowy zapis, np. X [0;1] zamiast peªnego ! : X(!) [0;1] , pami¦taj¡c jednak zawsze, »e X = X(!), czyli »e zmienna losowa jest funkcj¡ zdarze« elementarnych. B¦dziemy równie» równie» pisa¢ Pr(X < x) zamiast ! : X(!) < x . Podobnie we wszystkich dalszych przypadkach. 16