W gniewie człowiek z łatwością zdobywa się na czyny, przed którymi wzdragałby się w normalnych warunkach 17) określający ilość krwi Qk dostarczaną w jednostce czasu do mięśni: 154 Wprowadzenie do modelowania systemów biologicznych Q  S V (4.17) k k k Prędkość przepływu krwi Vk zależy od ciśnienia skurczowego pk wywołanego przez serce (4.18): V  f ( p ) (4.18) k k Dokładny opis tego zjawiska jest naprawdę skomplikowany i odwołuje się do praw hydrodynamiki, których matematyczny opis wymaga rozwiązywania skomplikowanych równań różniczkowych cząstkowych Naviera-Stokesa, trudnych do rozwiązania nawet przy użyciu największych dostępnych dziś superkomputerów. Dla potrzeb modelu rozważanego w tym rozdziale zastosujemy jednak bardzo uproszczone rozumowanie, oparte na stwierdzeniu oczywistego faktu, że czynnikiem wywołującym przepływ krwi jest ciśnienie skurczowe powstające w wyniku siły Fs rozwijanej przez kurczący się mięsień serca18. Siła Fs zależy od bardzo wielu czynników m.in. od wielkości serca, od grubości jego ścian, od prowadzonego trybu życia (wpływającego na sprawność mięśnia sercowego), od emocji rozważanej osoby i od jej uwarunkowań genetycznych. W naszych rozważaniach ograniczamy się jedynie do jednego parametru określającego cechy mięśnia sercowego, to znaczy do jego jednostkowej wytrzymałości mechanicznej σs oraz do jednego parametru opisującego rozmiary i kształt rozważanego serca, to znaczy do powierzchni pola jego przekroju poprzecznego S . Zależność siły skurczu od tych dwóch s wartości także bardzo uprościmy zakładając, że jest ona proporcjonalna do ich iloczynu (4.19). F   S (4.19) s s s Siła Fs działa na krew zgromadzoną w sercu i powoduje jej wyrzut oraz dalsze przetłaczanie. Można zauważyć, że siła Fs rozwijana przez mięsień serca, jest równoważona przez siłę pochodzącą od ciśnienia krwi Fk (4.20). F  p S (4.20) k k k Warunek równowagi sił można zapisać w postaci (4.21):  S  p S (4.21) s s k k Z powyższego wzoru wyznaczamy wielkość skurczowego ciśnienia krwi (4.22). 18 Taki dokładny model krążenia krwi i częstości tętna rozważany był między innymi w książce Marczewski W., Tadeusiewicz R.: „ Antropomotoryka biocybernetyczna” , wydanej w 1993 roku przez Akademię Wychowania Fizycznego w Krakowie. 4. Modele wybranych systemów biologicznych 155  S s s p  (4.22) k Sk Podobnie jak w poprzednich rozdziałach sprawdzimy, czy rozmiar ciała rozważanego zwierzęcia wpływa na wartość ciśnienia krwi. Wprowadzimy współczynnik wielkości ciała β przy pomocy którego przeskalujemy odpowiednie powierzchnie. S 2   S (4.23) s _ new s S 2   S (4.24) k _ new k Oczywiście parametr jednostkowej wytrzymałości mechanicznej σs nie zależy od rozmiarów. Po podstawieniu wzorów (4.23) i (4.24) do wzoru (4.22) zauważamy, że współczynnik wielkości ciała β ulega uproszczeniu. Wynik ten wskazuje na brak zależności pomiędzy ciśnieniem krwi p , a rozmiarami ciała. Z tego wynika, że k również prędkość przepływu krwi Vk nie ulega zmianie, mimo znacznych zmian rozmiarów ciała rozważanego zwierzęcia. Przeanalizujmy teraz wzór określający ilość krwi dostarczanej do mięśni w jednostce czasu Qk w odniesieniu do współczynnika β. Jeżeli Q  S V (4.25) k n k oraz S 2   S (4.26) n _ new n to Q 2   S V (4.27) k _ new n k Ostateczny rezultat przeprowadzonego rozumowania prowadzi do stwierdzenia, że moc pracujących mięśni zależy od ilości dostarczanej do mięśni krwi, a ta jest zależna od kwadratu rozmiarów ciała. Jak z tego wynika moc pracujących mięśni jest ograniczona przez wydolność systemu krążenia – i to jest ważny wniosek. Serce posiada określoną pojemność, którą oznaczamy Qs. Parametr ten jest oczywiście zależny od wielkości ciała (4.28). Q   Q 3 (4.28) s _ new s 156 Wprowadzenie do modelowania systemów biologicznych W ustalonym czasie t przez serce musi zostać przepompowana krew przepływająca przez aortę i wynosząca S V t . Przy określonej objętości Q n k s serce musi skurczyć się n razy zgodnie ze wzorem (4.29) do którego podstawiono zależności (4.26) i (4.28). 2  S V t n k n  (4.29) 3  Qs Po uproszczeniu współczynnika wielkości ciała oraz przyjmując t=1 otrzymujemy częstotliwość tętna (4.30). S V n k n   (4.30) Qs Z powyższych rozważań wynika, że im większe zwierzę, tym niższa wartość tętna. Wniosek ten odpowiada dokładnie wartościom obserwowanym w świecie zwierząt. Tętno myszy jest dużo wyższe od tętna człowieka i wynosi ok. 500. Słoń, pomimo tego, że jest dużo większy od człowieka posiada tętno o połowę mniejsze, ok. 30. 4.6.2. Symulacja krążenia krwi i jego konsekwencji Poniższy fragment kodu dla MATLABa (Przykład 4.5) przedstawia bardzo uproszczony model układu krążenia pozwalający na prognozowanie wartości tętna w zależności od wielkości osobnika. Za wzorzec przyjmowane są parametry człowieka (masa, tętno). W zależności od masy pozostałych modeli (słoń, mysz) wyliczane są poszczególne wartości tętna. Obliczana jest wartość tętna dla modelu A i B bazując na danych z modelu wzorcowego. Oznacza to, że znając masę osobnika jesteśmy w stanie prognozować jego tętno.